Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；②f（x）=x²；③f(x)=

2

(sinx+cosx)；④f(x)=

x

x2+x+1

；其中是F函数的序号为

①④

．

Answer 1

分析：本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立；对于②，|f（x）|＜m|x|，显然不成立；对于③，f(x)=

2

(sinx+cosx)，x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立；对于④，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故对任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|成立；从而可得到正确结论．

解答：解：由题意
对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为F函数；
对于②，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数；
对于③，f(x)=

2

(sinx+cosx)，由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函数；
对于④，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故对任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函数；
故答案为①④

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明，考查学生的阅读理解能力与分析问题解决问题的能力，解答的关键是对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．