Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．
（1）求证：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．
解答：解：（1）取PA的中点E，连结EM、BE，
∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，
又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，
∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…（4分）
∵BE?平面PAB，MQ?平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，
∴CD⊥平面PAC，结合AN?平面PAC，得AN⊥CD． …（9分）
又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AN⊥平面PCD，结合PD?平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）
∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…（13分）
又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，
∵MN?平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）
点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．