Question

【题目】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室，是边长为2的正方形．

（1）若是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；

（2）若，在上，证明：，并回答四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）

【解析】

（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.

（2）证明,结合,即可得到面,进而可证明.

（3）阳马的体积为:,根据均值不等式可得: (取得等号),即可求得.以点为顶点,以底面求三棱锥体积, 在以点为顶点,以底面求三棱锥体积.利用等体积法即可求得点到平面的距离.

（1）画出堑堵的三视图:

（2）

如图,连接和.

由题意可知:面 ,在平面

又

面 故: ,可得为直角三角形.

由题意可知,,都是直角三角形.

四面体四个面都是直角三角形,故四面体是鳖臑.

（3）

在中,

根据均值不等式可得: (取得等号)

由题意可知,面

阳马的体积为:

(取得等号)

以为顶点,以底面求三棱锥体积:

,设到面距离为

以为顶点,以底面求三棱锥体积:

解得: