Question

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=

3

5

，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥 A₁-B₁CD的体积．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理得BC，由勾股定理得AC⊥BC，由CC₁⊥面ABC 得到CC₁⊥AC，从而得到AC⊥面BCC₁，故AC⊥BC₁．
（2）连接B₁C交BC₁于点E，则DE为△ABC₁的中位线，得到DE∥AC₁，从而得到AC₁∥面B₁CD．
（3）过C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB₁A₁，面积法求CF，求出三角形DB₁A₁的面积，代入体积公式进行运算．

解答：解：（1）证明：在△ABC中，由余弦定理得BC=4，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC₁⊥面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，∴AC⊥面BCC₁∴AC⊥BC₁．
（2）证明：设B₁C交BC₁于点E，则E为BC₁的中点，连接DE，则DE为△ABC₁的中位线，
则在△ABC₁中，DE∥AC₁，又DE?面CDB₁，则AC₁∥面B₁CD．
（3）在△ABC中过C作CF⊥AB垂足为F，
由面ABB₁A₁⊥面ABC知，CF⊥面ABB₁A₁，∴VA1-B1CD=VC-A1DB1．
而S△DA1B1=

1

2

A1B1•AA1=5×4×

1

2

=10，

CF= AC•BC AB = 3×4 5 = 12 5

，
∴

VA1-B1CD= 1 3 ×10× 12 5 =8

．

点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A₁B₁D的距离是解题的难点．