Question

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A₁B₁C₁中AC=3，AB=5，cos∠CAB=,AA₁=4，点D是AB的中点.

(1)求证：AC₁//平面CDB₁；

(2)求B₁到平面A₁BC₁的距离.

Answer 1

答案：(1)证明：连结B₁C交BC₁于E，则E为BC₁的中点，连结DE，则在△ABC₁中，DE//AC₁.

又DE平面CDB₁，则AC₁//平面CDB₁.                                        

(2)解法一：在△ABC中由余弦定理得BC=4，

∴△ABC为∠C=90°的直角三角形.

又A₁A=4，∴B₁BCC₁为正方形.                                                

∴A₁C₁⊥B₁C.B₁C⊥平面A₁C₁B,

B₁到平面A₁C₁B的距离为B₁E.∴B₁E=22.                                       

解法二：在△ABC中由余弦定理得BC=4，

∴△ABC为∠C=90°的直角三角形.

故可建立如下图所示的直角坐标系,则A₁(3，0，4)，B(0，4，0)，C₁(0，0，4)，B₁(0，4，4).

设n=(x,y,z)为平面A₁BC₁的法向量，则

即                                                   

可得n=(0,1,1),∴d==.