Question

设函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（Ⅰ）确定b，c的值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2）．证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．由此能求出b和c．
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′(x)=x2-ax，由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反证法能够证明f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，即等价于方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0有三个相异的实根．由此能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，
得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
得f（0）=1，f'（0）=0．
故b=0，c=1．
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′(x)=x2-ax，
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f'（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0．
即t满足的方程为

2

3

t3-

a

2

t2+1=0．
下面用反证法证明．
假设f'（x₁）=f'（x₂），
由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：

2 3 x 3 1 - a 2 x 2 1 +1=0   (1) 2 3 x 3 2 - a 2 x 2 2 +1 =0       (2) x 2 1 -ax1= x 2 2 -ax2   (3)

由（3）得x₁+x₂=a，
由（1）-（2）得

x

2 1

+x&1x2+

x

2 2

=

3

4

a2  (4)
又

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=

x

2 1

-ax1+a2=(x1-

a

2

)2+

3

4

a2≥

3

4

a2，
故由（4）得x1=

a

2

，
此时x2=

a

2

与x₁≠x₂矛盾，
所以f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）故（Ⅱ）知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，
等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，
即等价于方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0有三个相异的实根．
设g(t)=

2

3

t3-

a

2

t2+1，则g′(t)=2t2-at=2t(t-

a

2

)．
由于a＞0，故有

t	（-∞，0）	0	(0， a 2 )	a 2	( a 2 ，+∞)
g'（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值1	↘	极小值1- a3 24	↗

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，当且仅当1-

a3

24

＜0，
即a＞2

3	3

．
∴a的取值范围是(23

3

，+∞)

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．