Question

17．在△AOB中，G为△AOB的重心，且$∠AOB=\frac{π}{3}$．若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，则$|{\overrightarrow{OG}}|$的最小值是2．

Answer 1

分析 如图所示，D为AB的中点．由$∠AOB=\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，可得$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$$cos\frac{π}{3}$=6，即$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$=12．利用三角形重心性质及其平行四边形法则可得$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，再利用数量积性质及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
D为AB的中点．
∵$∠AOB=\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$，
∴$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$$cos\frac{π}{3}$=6，即$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$=12．
∴$\overrightarrow{OG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∴$|\overrightarrow{OG}{|}^{2}$=$\frac{1}{9}$$（|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+12）$$≥\frac{1}{9}（2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|+12）$=4，
∴$|\overrightarrow{OG}|$≥2，当且仅当$|\overrightarrow{OA}|$=$|\overrightarrow{OB}|$=2$\sqrt{3}$时取等号．
故答案为：2．

点评 本题考查了数量积的定义及其运算性质、三角形重心性质及其平行四边形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．