Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别为BC与A₁D₁的中点，
（1）求直线A₁C与DE所成的角；
（2）求直线AD与平面B₁EDF所成的角；
（3）求面B₁EDF 与 面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：（1）在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A₁CP（或补角）为异面直线A₁C与DE所成的角，在△A₁CP中，利用余弦定理，即可求得异面直线A₁C与DE所成的角；
（2）证明直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直线AD与平面B₁EDF所成的角；
（3）连接EF、B₁D，交于点O，作OH⊥平面ABCD，作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则可得∠OMH为面B₁EDF 与 面ABCD所成的角，在直角△OHM中，利用正弦函数，即可求得面B₁EDF 与 面ABCD所成的角．

解答：解：（1）如图，在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A₁CP（或补角）为异面直线A₁C与DE所成的角
在△A₁CP中，A₁C=

3

a，CP=DE=

5 a

2

，A₁P=

13

2

a
∴cos∠A₁CP=

3a2+ 5 4 a2- 13 4 a2

2× 3 a× 5 a 2

=

15

15

∴异面直线A₁C与DE所成的角为arccos

15

15

；
（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B₁EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B₁EDF是菱形
∴DB₁为∠EDF的平分线
∴直线AD与平面B₁EDF所成的角为∠ADB₁．
在直角△B₁AD中，AD=a，AB₁=

2

a，B₁D=

3

a，
∴cos∠ADB₁=

a2+3a2-2a2

2×a× 3 a

=

3

3

∴直线AD与平面B₁EDF所成的角为arccos

3

3

；
（3）连接EF、B₁D，交于点O，显然O为B₁D的中点，从而O为正方体的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心
作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则OM⊥DE，故∠OMH为面B₁EDF与面ABCD所成的角．
在直角△DOE中，OE=

2

2

a，OD=

3 a

2

，DE=

5

2

a
则由面积关系可得OM=

OD×OE

DE

=

30

10

a
在直角△OHM中，sin∠OMH=

OH

OM

=

30

6

∴面B₁EDF与面ABCD所成的角为arcsin

30

6

点评：本题考查线线角、线面角、面面角，解题的关键是正确作出空间角，并在具体三角形中，利用余弦定理求出相应的角，属于中档题．