Question

6．设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₂=4，a₁a₄=32，数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若集合M={n|$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中元素的个数为4，试求实数λ的取值范围；
（3）将数列{a_n}与{b_n}按a₁，b₁，a₂，b₂，a₃，b₃，…，a_n，b_n，…的顺序排好后，再删去其中小于2015的项，剩下的项按原来的顺序构成一个新数列{c_n}，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出a_n．由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，得a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，n≥2，作差相减能求出b_n．
（2）由已知推导出M={n|$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}中有4个元素，由此利用列举法能出实数λ的取值范围．
（3）由a_n=2ⁿ＜2015，得n＜11，由b_n=n＜2015，得n＜2015，从而T_n=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀），由此能求出结果．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₂=4，a₁a₄=32，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}•{a}_{1}{q}^{3}=32}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，①
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，②n≥2
①-②，得：a_nb_n=n•2ⁿ，∴b_n=n．
（2）∵集合M={n|$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中元素的个数为4，
∴M={n|$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}中有4个元素，
n=1时，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{1×2}{2}=1$，
n=2时，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{2×3}{4}=\frac{3}{2}$＞1，
n=3时，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{3×4}{8}$=$\frac{3}{2}$＞1，
n=4时，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{4×5}{16}$=$\frac{5}{4}$＞1，
n=5时，$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$=$\frac{5×6}{32}$=$\frac{15}{16}$＜1，
∴实数λ的取值范围是（$\frac{15}{16}$，1]．
（3）由a_n=2ⁿ＜2015，得n＜11，且a₁₀=1024，a₁₁=2048，
由b_n=n＜2015，得n＜2015，且b₂₀₁₄=2014，b₂₀₁₅=2015，
∴T_n=（a₁+a₂+…+a₁₀）+（b₁+b₂+…+b₁₀）
=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{10（1+10）}{2}$
=2（1024-1）+5×11
=2101．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．