Question

16．函数f（x）在点x₀处有定义，是当x→x₀时f（x）有极限的（　　）

• A． 必要条件
• B． 充分条件
• C． 充要条件
• D． 无关条件

Answer 1

分析 由题意看命题f（x）在x=x₀处连续与命题f（x）在x=x₀处有定义是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断，
由“函数f（x）在点x=x₀处连续”可得“函数f（x）在点x=x₀处有极限”．通过举反例可得由“函数f（x）在点x=x₀处有极限”，不能推出“函数f（x）在点x=x₀处连续”，由此得出结论．

解答 解：由f（x）在点x=x₀处连续的定义，可知f（x）在点x=x₀处连续⇒函数f（x）在点x=x₀处有定义；
反之不成立．故为必要而不充分的条件，
由“函数f（x）在点x=x₀处连续”可得“函数f（x）在点x→x₀处有极限”．
但由“函数f（x）在点x→x₀处有极限”，不能推出“函数f（x）在点x=x₀处连续”，
例如f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{2，x=0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$在x→0处有极限为0，但f（x）在x=0处不连续．
故“函数f（x）在点x=x₀处连续”是“函数f（x）在点x→x₀处有极限”的充分而不必要条件，
故函数f（x）在点x₀处有定义，是当x→x₀时f（x）有极限的无关条件，
故选：D．

点评 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，函数在某点连续与函数在某点有极限的关系，属于基础题．