Question

7．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（I）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （I）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）首先把二次函数的一般式变成顶点式，从而确定对称轴的方程，进一步根据定区间和不定轴进行讨论进一步求出结果．

解答 解：（I）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
∴函数f（x）的最大值f（-5），37，最小值f（1）=1；
（Ⅱ）已知函数f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²
∴函数的图象为开口方向向上的抛物线，对称轴的方程为：x=-a
①当-5≤a≤5时：f（x）_min=f（-a）=2-a²
②a＜-5时：f（x）_min=f（5）=27+10a
③当a＞5时：f（x）_min=f（-5）=27-10a
综上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2-{a}^{2}，-5≤a≤5}\\{27+10a，a＜-5}\\{27-10a，a＞5}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点：二次函数的顶点式与一般式的互化，对称轴方程，对称轴不定与定区间的讨论及相关的运算问题．