Question

2．已知在锐角△ABC中，sinC（sin²A+sin²B-sin²C）=$\sqrt{3}$sinAsinBcosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）当c=1时，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C的大小；
（Ⅱ）由c与sinC的值，利用正弦定理求出R的值，表示出a与b，代入a+b中，利用和差化积公式变形，利用余弦函数的值域确定出范围即可．

解答 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：sinC（a²+b²-c²）=$\sqrt{3}$abcosC，
整理得：2sinCabcosC=$\sqrt{3}$abcosC，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C为锐角，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵c=1，sinC=sin$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB，
∵sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos$\frac{5π}{12}$=cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴a+b=sinA+sinB=sinA+sin（$\frac{5π}{6}$-A）=2sin$\frac{5π}{12}$cos（A-$\frac{5π}{12}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$cos（A-$\frac{5π}{12}$），
∵A∈（0，$\frac{5π}{6}$），∴A-$\frac{5π}{12}$∈（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{12}$），
∴cos（A-$\frac{5π}{12}$）∈（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]，
则a+b∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．