Question

13．已知单调递增数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=$\frac{1}{2}$（a${\;}_{n}^{2}$+n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}}&{n为奇数}\\{3×{2}^{{a}_{n-1}}+1}&{n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，求出a₁，a₂，a₃，由此猜想a_n．再用数学归纳法进行证明．
（2）由已知得${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n}^{2}+2n}，n为奇数}\\{3×{2}^{n-1}+1，n为偶数}\end{array}\right.$，当n=2m，m∈N^*时，T_n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2m-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2m），当n=2m-1，m∈N^*时，T_n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2m-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2m-2），由此能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵单调递增数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=$\frac{1}{2}$（a${\;}_{n}^{2}$+n），
∴$2{S}_{n}={{a}_{n}}^{2}+n$，
∴a_n＞0，且分别令n=1，2，3，得：$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+1}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}）={{a}_{2}}^{2}+2}\\{2（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）={{a}_{3}}^{2}+3}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，a₂=2，a₃=3，
由此猜想a_n=n．
由$2{S}_{n}={{a}_{n}}^{2}+n$，①
得$2{S}_{n-1}={{a}_{n-1}}^{2}+（n-1）$，②n≥2
①-②，得：$2{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+1$，即${{a}_{n}}^{2}=2{a}_{n}+{{a}_{n-1}}^{2}-1$，
（i）当n=2时，${{a}_{2}}^{2}=2{{a}_{2}+{1}^{2}-1}^{\;}$，由a₂＞0，得a₂=2，成立．
（ii）假设n=k，k≥2时，a_k=k，
则当n=k+1时，
${{a}_{k+1}}^{2}=2{a}_{k+1}+{{a}_{k}}^{2}-1$=$2{a}_{k+1}+{k}^{2}-1$，
∴[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，
∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1，即n=k+1时成立，
∴a_n=n，n≥2，n=1时，成立，
∴a_n=n．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}}&{n为奇数}\\{3×{2}^{{a}_{n-1}}+1}&{n为偶数}\end{array}\right.$，∴${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{n}^{2}+2n}，n为奇数}\\{3×{2}^{n-1}+1，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴当n=2m，m∈N^*时，
T_n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2m-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2m）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+$…+\frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m+1}$）+3×（2+2³+2⁵+…+2^2m-1）+m
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2m+1}$）+3×$\frac{2（1-{4}^{m}）}{1-4}$+m
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2m+1}$+2×4^m-2+m
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{n+1}$+2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n}{2}$
=${2}^{n+1}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2n+2}-\frac{3}{2}$，
当n=2m-1，m∈N^*时，
T_n=（c₁+c₃+c₅+…+c_2m-1）+（c₂+c₄+c₆+…+c_2m-2）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+$…+\frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m+1}$）+3×（2+2³+2⁵+…+2^2m-3）+（m-1）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2m+1}$）+3×$\frac{2（1-{4}^{m-1}）}{1-4}$+m-1
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4m+2}$+2×4^m-1-2+m-1
=${2}^{n}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2n+4}-2$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2n+4}-2，n为奇数}\\{{2}^{n+1}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2n+2}-\frac{3}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳和分类讨论思想的合理运用．