Question

11．已知函数f（x）=（log₂x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x+1，g（x）=x²-ax+1．
（1）求函数y=f（（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-3x}$-4）的定义域；
（2）若存在a∈R，对任意x₁∈[$\frac{1}{8}$，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数的真数要大于零，列出关于x的不等关系，求解三角不等式，即可求得函数y=f（2cosx-1）的定义域；
（2）先求出f（x）的值域，根据题意将问题转化为[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），进而根据对称轴与区间[-1，2]的位置关系进行讨论，从而得到答案．

解答 解：（1）要使函数f（x）有意义，则x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-3x}$-4＞0，解（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-3x}$＞4，
即${2}^{-{x}^{2}+3x}＞{2}^{2}$，
则-x²+3x＞2，即x²-3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
∴y=f（（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-3x}$-4）的定义域为（1，2）；
（2）f（x）=（log₂x）²-2$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x+1=（1+log₂x）²，
∵x∈[$\frac{1}{8}$，2]，
∴-3≤log₂x≤1，
∴函数f（x）的值域为[0，4]，
∵存在a∈R，对任意${x_1}∈[{\frac{1}{8}，2}]$，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立，
∴[0，4]⊆{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），
①当$\frac{a}{2}≤-1$时，则有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a+2≤0}\\{g（2）=5-2a≥4}\end{array}\right.$，解得a≤-2；
②当$\frac{a}{2}≥2$时，则有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a+2≥4}\\{g（2）=5-2a≤0}\end{array}\right.$，解得a≥4；
③当-1$＜\frac{a}{2}＜2$时，$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（-1）=a+2≥4}\\{g（2）=5-2a＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（-1）=a+2＜0}\\{g（2）=5-2a≥4}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{2}＜a＜4$．
综上所述，a≤-2或a$＞\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了函数恒成立问题，复合函数的单调性问题，以及利用数形结合的数学思想方法进行解题，涉及了利用换元法转化成二次函数求值域问题．属于中档题．