Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cosA=$\frac{3}{4}$．
（1）若C=2A，求$\frac{c}{a}$的值；
（2）若a=$\sqrt{2}$，bc=2，求边b，c的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，先求出sinA，sin2A，再利用正弦定理能求出$\frac{c}{a}$的值．
（2）由已知条件利用余弦定理求出b²+c²的值，由此联立方程组能求出b，c的长．

解答 解：（1）∵C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
由正弦定理，得：$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin2A}{sinA}$=$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）∵a=$\sqrt{2}$，bc=2，cosA=$\frac{3}{4}$，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即2=b²+c²-4×$\frac{3}{4}$，解得b²+c²=5，
联立$\left\{\begin{array}{l}{bc=2}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=1，或b=1，c=2．

点评 本题考查三角形中边长的比值和边长的求法，是中档题，解题时要注意正弦定理和余弦定理的合理运用．