Question

18．已知中心在原点且经过点（2，1）的椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），试求a的取值范围．

Answer 1

分析 由点（2，1）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，从而可求a的取值范围．

解答 解：∵点（2，1）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
∴$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{4}{{a}^{2}}$=1-$\frac{1}{{b}^{2}}$＞0，
∴b²＞1．
又b＜$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴1＜b²＜5．
a²=$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}-1}$=$\frac{4}{{b}^{2}-1}$+4＞4+1=5，
∴a＞$\sqrt{5}$
即a的取值范围为（$\sqrt{5}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，比较基础．