Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点依次为F₁，F₂，过F₁的直线与椭圆交于A，B两点，且|AF₁|=$\frac{3}{2}$|BF₁|，|AF₂|=|F₁F₂|
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线AB在y轴上的截距为6$\sqrt{2}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为：my=x+c（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得：（b²m²+a²）y²-2cb²my-b⁴=0．由|AF₁|=$\frac{3}{2}$|BF₁|，|AF₂|=
|F₁F₂|，可得$\overrightarrow{A{F}_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{{F}_{1}B}$，|AF₂|=2c，即-y₁=$\frac{3}{2}{y}_{2}$，$\sqrt{（{x}_{1}-c）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=2c．再利用根与系数的关系即可得出．
（2）由直线AB在y轴上的截距为6$\sqrt{2}$，可得$\frac{c}{m}$=6$\sqrt{2}$，即m²=$\frac{{c}^{2}}{72}$．由（1）可得m²=$\frac{2{a}^{2}-3{b}^{2}}{{b}^{2}}$．因此$\frac{{c}^{2}}{72}$=$\frac{2{a}^{2}-3{b}^{2}}{{b}^{2}}$，与$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，a²=b²+c²，联立解出即可．

解答 解：（1）设直线AB的方程为：my=x+c（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b²m²+a²）y²-2cb²my-b⁴=0，
化为y₁+y₂=$\frac{2{b}^{2}cm}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
∵|AF₁|=$\frac{3}{2}$|BF₁|，|AF₂|=|F₁F₂|，
∴$\overrightarrow{A{F}_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{{F}_{1}B}$，|AF₂|=2c，
∴-y₁=$\frac{3}{2}{y}_{2}$，$\sqrt{（{x}_{1}-c）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=2c．
由$\sqrt{（{x}_{1}-c）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=2c，可得$（m{y}_{1}-2c）^{2}$+${y}_{1}^{2}$=4c²，
化为y₁=$\frac{4cm}{{m}^{2}+1}$．
∴y₂=$-\frac{2}{3}{y}_{1}$=$-\frac{8cm}{3（{m}^{2}+1）}$．
∴$\frac{4cm}{{m}^{2}+1}$$-\frac{8cm}{3（{m}^{2}+1）}$=$\frac{2{b}^{2}cm}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
.$\frac{4cm}{{m}^{2}+1}$•（$-\frac{8cm}{3（{m}^{2}+1）}$）=$\frac{-{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
化为：b²m²+3b²=2a²，即m²=$\frac{2{a}^{2}-3{b}^{2}}{{b}^{2}}$．
$\frac{32{c}^{2}{m}^{2}}{3（{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴$\frac{\frac{32{c}^{2}（2{a}^{2}-3{b}^{2}）}{{b}^{2}}}{3（\frac{2{a}^{2}-3{b}^{2}}{{b}^{2}}+1）^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{2{a}^{2}-3{b}^{2}+{a}^{2}}$，
化为：5c=3a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$．
（2）∵直线AB在y轴上的截距为6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{m}$=6$\sqrt{2}$，
∴m²=$\frac{{c}^{2}}{72}$．
又m²=$\frac{2{a}^{2}-3{b}^{2}}{{b}^{2}}$．
∴$\frac{{c}^{2}}{72}$=$\frac{2{a}^{2}-3{b}^{2}}{{b}^{2}}$．
又$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，a²=b²+c²，
解得b²=16，a=5，c=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．