Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0），
（1）当0＜a＜

1

2

时，f（sinx）的最大值为

5

4

，求f（x）的最小值．
（2）若x∈[0，

π

2

]时，|f（sinx）|≤1恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得：-

1

2a

＜-1，令t=sinx∈[-1，1]则f(sinx)=f(t)=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

，根据二次函数的性质得：当t=1即x=2kπ+

π

2

时，f（sinx）有最大值a+1=

5

4

，
可得a=

1

4

，进而求出二次函数的解析式，即可得到函数的最小值．
（2）由题意得：-1≤asin²x+sinx≤1，令t=sinx则t∈[0，1]，可得-1≤at²+t≤1对任意t∈[0，1]恒成立，分别讨论：当x=0时（此时显然成立）与当x≠0时，

a≤ 1 t2 - 1 t =( 1 t - 1 2 )2- 1 4 a≥- 1 t2 - 1 t =-( 1 t + 1 2 )2+ 1 4

对任意t∈[0，1]恒成立，再利用二次函数的性质分别求出两个函数的最值，进而得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：0＜a＜

1

2

，
∴-

1

2a

＜-1．
令t=sinx∈[-1，1]则f(sinx)=f(t)=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

，
∴根据二次函数的性质可得：当t=1即sinx=1⇒x=2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（sinx）有最大值a+1=

5

4

，
∴a=

1

4

所以f(x)=

1

4

x2+x=

1

4

(x+2)2-1，
所以f_min（x）=f（2）=-1．
（2）由|f（sinx）|≤1得：-1≤asin²x+sinx≤1，
令t=sinx则t∈[0，1]，
∴-1≤at²+t≤1对任意t∈[0，1]恒成立
当x=0时，f（t）=0使|f（sinx）|≤1成立
当x≠0时，

a≤ 1 t2 - 1 t =( 1 t - 1 2 )2- 1 4 a≥- 1 t2 - 1 t =-( 1 t + 1 2 )2+ 1 4

对任意t∈[0，1]恒成立，
∵t∈[0，1]，
∴

1

t

≥1则(

1

t

-

1

2

)2-

1

4

≥0；-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

≤-2，
∴-2≤a≤0，
故a的范围[-2，0]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，即二次函数定区间内求最值，本题主要考查不等式恒成立问题，解决此类问题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查学生的转化与化归思想与分析问题、解决问题的能力．