Question

20．在平面直角坐标系中，点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）在角α的终边上，点Q（$\frac{1}{3}$，-1）在角β的终边上，点M（sin$\frac{2π}{3}$，cos$\frac{2π}{3}$）在角γ终边上．
（1）求sinα，cosβ，tanγ的值；
（2）求sin（α+2β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosβ，tanγ的值，再利用二倍角公式求得sin2β、cos2β的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+2β）的值．

解答 解：（1）∵点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）在角α的终边上，点Q（$\frac{1}{3}$，-1）在角β的终边上，
点M（sin$\frac{2π}{3}$，cos$\frac{2π}{3}$）在角γ终边上，
∴sinα=$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{3}{5}$；
sinβ=$\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
tanγ=$\frac{cos\frac{2π}{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）由（1）得 sin2β=2sinβcosβ=-$\frac{3}{5}$＜0，cos2β=2cos²β-1=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=-1．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．