Question

已知

2

sinx+

2

cosx=

8

5

，且

π

4

＜x＜

π

2

，求

sin2x(1+tanx)

1-tanx

的值．

Answer 1

分析：已知等式左边提取2变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简求出cos（x-

π

4

）的值，根据x的范围求出这个角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（x-

π

4

）的值，进而确定出tan（x-

π

4

）的值，确定出tan（x+

π

4

）的值，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式求出sin2x的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵

2

sinx+

2

cosx=2cos（x-

π

4

）=

8

5

，
∴cos（x-

π

4

）=

4

5

，
∵

π

4

＜x＜

π

2

，
∴0＜x-

π

4

＜

π

4

，
∴sin（x-

π

4

）=

1-cos2(x- π 4 )

=

3

5

，tan（x-

π

4

）=

3

4

，
∴tan（x+

π

4

）=-cot（x-

π

4

）=-

4

3

，
sin2x=cos（2x-

π

2

）=2cos²（x-

π

4

）-1=

7

25

，
∴

sin2x(1+tanx)

1-tanx

=sin2x•tan（x+

π

4

）=

7

25

×（-

4

3

）=-

28

75

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．