Question

20．已知动点M到点F（0，1）的距离与到直线y=4的距离之和为5．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若动直线l：y=x+m与轨迹E有两个不同的公共点A、B，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）设动点M的坐标为（x，y），根据两点的距离公式结合题意建立关于x、y的等式，化简整理得到x²=4y（y≤4）或x²=-16（y-5）（y＞4），从而得到轨迹是由两个抛物线弧连接而成，其图形如图所示；
（2）根据轨迹E的形状，直线l：y=x+m分别将与抛物线段联解，得到直线l与轨迹E有唯一公共点的两个界点处m的值，再将直线l平移进行观察，即可得到实数m的取值范围；将两个抛物线段E₁与E₂的方程与直线l方程联解，可得交点A．B的横坐标关于m的式子，运用两点间的距离公式算出|AB|，运用导数研究$f（m）=\sqrt{1+m}+2\sqrt{9-m}（0＜m＜8）$的单调性，即可得到当m=1时，|AB|的最大值．

解答 解：（1）设M（x，y），由题设知：$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}+|{y-4}|=5$，
①当y≥4时，x²=-16（y-5）即$y=-\frac{x^2}{16}+5（-4≤x≤4）$，其轨迹为E₂，
②当y＜4时，x²=4y即$y=\frac{1}{4}{x^2}（-4≤x≤4）$，其轨迹为E₁，①和②均为E的轨迹方程．
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{x^2}{16}+5}\\{y=\frac{x^2}{4}}\end{array}}\right.$解得C（-4，4），D（4，4），
当l过点C时，m=8，
当l与$y=\frac{1}{4}{x^2}$相切于P（x₀，y₀）时，$y'=\frac{x}{2}$，∴$\frac{x_0}{2}=1$，解得x₀=2，y₀=1，∴切点P（2，1），∴m=-1．
综上：m∈（-1，8）…（8分）
（3）①当-1＜m≤0时，l与E的两个交点均在E₁上．∴$0＜|{AB}|≤|{OD}|=4\sqrt{2}$．
②当0＜m＜8时，l与E的两个交点A在E₁上，B在E₂上，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=\frac{x^2}{4}}\end{array}}\right.$解得：$x=2±2\sqrt{1+m}$，∴${x_A}=2-2\sqrt{1+m}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-\frac{x^2}{16}+5}\end{array}}\right.$解得：$x=-8±4\sqrt{9-m}$，∴${x_B}=-8+4\sqrt{9-m}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_A}-{x_B}）}^2}+{{（{y_A}-{y_B}）}^2}}=\sqrt{2}|{{x_B}-{x_A}}|=2\sqrt{2}（\sqrt{1+m}+2\sqrt{9-m}-5）$
令$f（m）=\sqrt{1+m}+2\sqrt{9-m}（0＜m＜8）$．
∴$f'（m）=\frac{1}{{2\sqrt{1+m}}}-\frac{1}{{\sqrt{9-m}}}=\frac{{\sqrt{9-m}-2\sqrt{1+m}}}{{2\sqrt{1+m}•\sqrt{9-m}}}$=$\frac{5（1-m）}{{2\sqrt{1+m}•\sqrt{9-m}（\sqrt{9-m}+2\sqrt{1+m}）}}$
令f'（m）=0，解得m=1，
∴当m∈（0，1），f'（m）＞0，m∈（1，8），f'（m）＜0，
∵$f{（m）_{max}}=f（1）=5\sqrt{2}$，∴${|{AB}|_{max}}=20-10\sqrt{2}＞4\sqrt{2}$，
综上：${|{AB}|_{max}}=20-10\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题给出动点M满足的条件，求M的轨迹方程，并讨论了直线l与M的轨迹相交截得弦AB长度最大值．着重考查了抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用导数研究函数的单调性和轨迹方程的讨论等知识，属于中档题．