Question

已知椭圆W：

x2

2

+y2=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y-1=0，求△OCD外接圆的方程；
（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y-1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；
（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y-1=0，
所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点D(0，

1

2

)．…（1分）
则线段CD的中点(

1

2

，

1

4

)，|CD|=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，…（3分）
即△OCD外接圆的圆心为(

1

2

，

1

4

)，半径为

1

2

|CD|=

5

4

，
所以△OCD外接圆的方程为(x-

1

2

)2+(y-

1

4

)2=

5

16

．…（5分）
（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．
理由如下：
由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则C(-

m

k

，0)，D（0，m），…（6分）
由方程组

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，…（7分）
所以△=16k²-8m²+8＞0，（*）              …（8分）
由韦达定理，得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．…（9分）
由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．
所以x1+x2=

-4km

1+2k2

=0-

m

k

，…（10分）
解得k=±

2

2

．…（11分）
由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．
所以

1+k2

|x1-x2|=3

( m k )2+m2

，…（12分）
即 |x1-x2|=

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-2 1+2k2

=3|

m

k

|，
解得 m=±

5

5

．…（13分）
验证知（*）成立．
所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为y=

2

2

x±

5

5

，或y=-

2

2

x±

5

5

．…（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．