Question

已知函数f（x）=

3

sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（

π

6

，1），与该最高点最近的一个最低点是（

2π

3

，-3）．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

AB

•

BC

=-

1

2

ac，角A的取值范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+c，依题意，解方程组

T 2 = 2π 3 - π 6 ω= 2π T 2sin( π 6 •ω+ π 6 )+c=1

即可求ω与c的值，从而可得函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（2）利用向量的数量积易求B=

π

3

，M=（0，

2π

3

），利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωx+cosωx+c，
∴f（x）=2sin（ωx+

π

6

）+c．
∵（

π

6

，1）和（

2π

3

，-3）分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，
∴

T 2 = 2π 3 - π 6 ω= 2π T 2sin( π 6 •ω+ π 6 )+c=1

，解得

T=π c=-1 ω=2

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵在△ABC中，

AB

•

BC

=-

1

2

ac，
∴accos（π-B）=-

1

2

ac，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，C＞0，于是0＜A＜

2π

3

，即M=（0，

2π

3

），
当x∈M时，

π

6

＜2x+

π

6

＜

3π

2

，
∴-1＜sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-3＜f（x）≤1，即函数f（x）的值域为（-3，1]．

点评：本题考查三角恒等变换及其应用，着重考查正弦函数的图象与性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．