Question

已知函数f（x）=4sin²（x+

π

4

）-2

3

cos2x-1，且给定条件p：“-

π

4

≤x≤

π

2

”．
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若又给条件q：“|f（x）-m|＜5”，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：（1）将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可求出函数的最值．
（2）根据充分条件和必要条件的定义，建立条件即可得到结论．

解答： 解：（1）f（x）=4sin²（x+

π

4

）-2

3

cos2x-1=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

3cos2x-1=2+2sin2x-2

3

cos2x-1=1+4sin（2x-

π

3

），
∵-

π

4

≤x≤

π

2

，
-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-4≤4sin（2x-

π

3

）≤4
∴-3≤f（x）≤5，
即f（x）最大值为5，最小值为-3．
（2）∵|f（x）-m|＜5
∴m-5＜f（x）＜m+5，
由（1）得-3≤f（x）≤5
即p：-3≤f（x）≤5
q：m-5＜f（x）＜m+5，
∵p是q的充分条件
∴

m-5≤-3 m+5≥5

，
即

m≤2 m≥0

，
解得：0≤m≤2．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握三角函数的化简公式．