Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM，交椭圆于点P，证明：

OM

•

OP

为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）由题意可知b=c，再由△AOF的面积为1求得b，c的值结合a²=b²+c²求得a²，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求C，D的坐标，设出CM所在直线方程，由MD⊥CD得到M的坐标（用CM的斜率和常数表示），联立CM的方程和椭圆方程后借助于根与系数关系求得P的坐标，
代入数量积公式可证

OM

•

OP

为定值；
（Ⅲ）假设存在，设出Q点坐标，由

QM

•

DP

=0列式求得Q点的坐标．

解答： （Ⅰ）解：由已知：

b=c 1 2 bc=1

，
∴b=c=

2

，a²=b²+c²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）证明：由（1）知，C（-2，0），D（2，0）．
由题意可设CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁）．
∵MD⊥CD，
∴M（2，4k）．
由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x+2)

，消去y整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-4）＞0，
-2x1=

8k2-4

1+2k2

，即x1=

2-4k2

1+2k2

．
∴y1=k(x1+2)=

4k

1+2k2

，
∴点P（

2-4k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

）．
∴

OM

•

OP

=2•

2-4k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=

4(1+2k2)

1+2k2

=4（定值）．
（Ⅲ）解：设Q（x₀，0），且x₀≠2．
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，
则MQ⊥DP，
∴

QM

•

DP

=0恒成立．
由（2）可知：

QM

=(2-x0，4k)，

DP

=(

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)，
∴

QM

•

DP

=(2-x0)•

-8k2

1+2k2

+4k•

4k

1+2k2

=0，
即

8k2

1+2k2

x0=0恒成立，
∴x₀=0．
∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点．

点评：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了向量法解决与圆锥曲线有关的问题，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．