Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+t（t≠0）与椭圆C相交于M，N两点，直线AO平分线段MN，求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=

2

2

，过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|=

2

，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆联立，利用线段AB中点在直线y=

2

2

x上求得k的值，求出|MN|，及点O到直线MN的距离，表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可确定△FAB的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

．
∴a=

2

，b=1
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，

2

2

），∴直线AO的方程为y=

2

2

x．
y=kx+t（t≠0）代入椭圆C的方程，消去y得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），由韦达定理得x₀=-

2kt

1+2k2

，y₀=

t

1+2k2

．
由点P在直线y=

2

2

x上，得k=-

2

2

．                          
∴x₁+x₂=-

2

t，x₁x₂=t²-1，
|MN|=

1+ 1 2

•|x₁-x₂|=

6-3t2

又点O到直线MN的距离d=

|t|

3 2

．
∴△OMN的面积为

2

2

•

t2(2-t2)

≤

2

2

•

t2+2-t2

2

=

2

2

，
∴当t=±1时，△OMN的面积取最大值

2

2

，直线l的方程为y=-

2

2

x±1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．