Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若a=3，b=2，求h（x）的极大值点；
（Ⅱ）若b=2且h（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将a、b的值代入，可得h（x）=lnx-

3

2

x²-2x，求出其导数，再在区间（0，+∞）上讨论导数的正负，可以得出函数h（x）单调区间，进而得到h（x）的极大值点；
（Ⅱ）先求函数h（x）的解析式，因为函数h（x）存在单调递减区间，所以不等式h′（x）＜0有解，通过讨论a的正负，得出h′（x）＜0有解，即可得出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=3，b=2，∴h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

x²-2x，
∴h′(x)=

1

x

-3x-2=-

3x2+2x-1

x

（x＞0），
令h′（x）=0，则3x²+2x-1=0，x₁=-1，x₂=

1

3

，
则当0＜x＜

1

3

时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，

1

3

）上为增函数，
当x＞

1

3

时，h′（x）＜0，则h（x）在（

1

3

，+∞）上为减函数，
则h（x）的极大值点为

1

3

；
（Ⅱ）∵b=2，∴h(x)=lnx-

1

2

 ax2-2x，
∴h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

，
∵函数h（x）存在单调递减区间，
∴h′（x）＜0有解．
即当x＞0时，则ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解．
②当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）总有解，
则△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一个正根，此时，-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义，函数与方程的讨论等，属于中档题．