Question

设F₁，F₂分别为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F₁F₂为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，若∠MAN=135°，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出直线MN：y=

b

a

x，圆的方程为：x²+y²=c²，联立

y= b a x x2+y2=c2

，解得

AM

=（2a，b），

AN

=（0，-b），由∠MAN=135°，推导出b=2a，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 解：如图，F₁，F₂分别为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
A为双曲线的左顶点，
以F₁F₂为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，
∴直线MN：y=

b

a

x，圆的方程为：x²+y²=c²，
联立

y= b a x x2+y2=c2

，解得M（a，b），N（-a，-b），
∵A（-a，0），∴

AM

=（2a，b），

AN

=（0，-b），
∵∠MAN=135°，
∴cos＜

AM

，

AN

＞=

-b2

4a2+b2 •b

=-

2

2

，
解得b=2a，∴c=

a2+b2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．