Question

已知复数数列{a_n}的通项公式为a_n=（1+i）（1+

i

2

）（1+

i

3

）…（1+

i

n

），则|a_n-a_n+1|等于

 

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：先由条件求得|a_n-a_n+1|=|1+

i

n

|，再利用复数的模的定义及运算性质即可求得|a_n-a_n+1|．

解答： 解：∵复数数列{a_n}的通项公式为a_n=（1+i）（1+

i

2

）（1+

i

3

）…（1+

i

n

），
∴a_n+1=（1+i）（1+

i

2

）（1+

i

3

）…（1+

i

n

）（1+

i

n+1

），
∴|a_n-a_n+1|=|（1+i）（1+

i

2

）（1+

i

3

）…（1+

i

n

）•（-

i

n+1

）|
=

2

•

1+ 1 2

•

1+ 1 3

•

1+ 1 4

…

1+ 1 n

•

1 n+1

=

2× 3 2 × 4 3 × 5 4 ×…× n+1 n × 1 n+1

=1，
故答案为：1．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．