Question

已知点A（2，1）在抛物线E：x²=ay上，直线l₁：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l₂：y=-1于点S，T．
（1）求a的值；
（2）若|ST|=2

5

，求直线l₁的方程；
（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据点A（2，1）在抛物线E：x²=ay上，可求a的值；
（2）y=kx+1代入抛物线方程，利用韦达定理，确定S，T的坐标，根据|ST|=2

5

，即可求直线l₁的方程；
（3）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标．

解答： 解：（1）∵点A（2，1）在抛物线E：x²=ay上，∴a=4．…（1分）
（2）由（1）得抛物线E的方程为x²=4y．
设点B，C的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），依题意，

x

2 1

=4y1，

x

2 2

=4y2，
y=kx+1代入抛物线方程，消去y得x²-4kx-4=0，
解得x1，2=

4k±4 k2+1

2

=2k±2

k2+1

．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（2分）
直线AB的斜率kAB=

y1-1

x1-2

=

x 2 1 4 -1

x1-2

=

x1+2

4

，
故直线AB的方程为y-1=

x1+2

4

(x-2)．…（3分）
令y=-1，得x=2-

8

x1+2

，∴点S的坐标为(2-

8

x1+2

，-1)．…（4分）
同理可得点T的坐标为(2-

8

x2+2

，-1)．…（5分）
∴|ST|=|2-

8

x1+2

-(2-

8

x2+2

)|=|

8(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

|=|

8(x1-x2)

x1x2+2(x1+x2)+4

|=|

8(x1-x2)

8k

|=|

x1-x2

k

|．…（6分）
∵|ST|=2

5

，∴|x1-x2|=2

5

|k|．
由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2，得20k²=16k²+16，
解得k=2，或k=-2，…（7分）
∴直线l₁的方程为y=2x+1，或y=-2x+1．…（9分）
（3）设线段ST的中点坐标为（x₀，-1），
则x0=

1

2

(2-

8

x1+2

+2-

8

x2+2

)=2-

4(x1+x2+4)

(x1+2)(x2+2)

=2-

4(4k+4)

x1x2+2(x1+x2)+4

=2-

4(4k+4)

8k

=-

2

k

．…（10分）
而|ST|²=

(x1-x2)2

k2

=

(x1+x2)2-4x1x2

k2

=

16(k2+1)

k2

，…（11分）
∴以线段ST为直径的圆的方程为(x+

2

k

)2+(y+1)2=

1

4

|ST|2=

4(k2+1)

k2

．
展开得x2+

4

k

x+(y+1)2=

4(k2+1)

k2

-

4

k2

=4．…（12分）
令x=0，得（y+1）²=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，-3）．…（14分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．