【题目】已知在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程是 (θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ.
(Ⅰ) 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标;
(Ⅱ) 点A,B分别在曲线C1 , C2上,当|AB|最大时,求△OAB的面积(O为坐标原点).
【答案】解:(Ⅰ)由 得
则曲线C1的普通方程为(x+1)2+y2=1.
又由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,得x2+y2=2y.
把两式作差得,y=﹣x,代入x2+y2=2y,
可得交点坐标为为(0,0),(﹣1,1).
(Ⅱ) 由平面几何知识可知,
当A,C1 , C2 , B依次排列且共线时,|AB|最大,此时 ,
直线AB的方程为x﹣y+1=0,则O到AB的距离为 ,
所以△OAB的面积为
【解析】(Ⅰ)由 消去θ化为普通方程,由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,得x2+y2=2y,联立求出交点的直角坐标,化为极坐标得答案;(Ⅱ) 由平面几何知识可知,A,C1 , C2 , B依次排列且共线时|AB|最大,求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案.
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【题目】已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为 ,直线
与抛物线相交于不同的
,
两点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如果直线 过抛物线的焦点,求
的值;
(3)如果 ,直线
是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.
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【题目】某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系: (其中c为小于6的正常数). (注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品),已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产出1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:
,并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率.
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【题目】分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上,且经过点A ( ,-2),B(-2
,1);
(2)与椭圆 有相同焦点且经过点M(
,1).
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【题目】若平面点集 满足:任意点
,存在
,都有
,则称该点集
是“
阶聚合”点集。现有四个命题:
①若 ,则存在正数
,使得
是“
阶聚合”点集;
②若 ,则
是“
阶聚合”点集;
③若 ,则
是“2阶聚合”点集;
④若 是“
阶聚合”点集,则
的取值范围是
.
其中正确命题的序号为( )
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④
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