Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上有一点Q（2，y₀）到焦点F的距离为

5

2

．
（Ⅰ）求p及y₀的值；
（Ⅱ）如图，设直线y=kx+b与抛物线交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=2，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线交于点D，连接AD，BD．试判断△ABD的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由抛物线C：y²=2px（p＞0），可得焦点，利用弦长公式可得p．把点Q（2，y₀）代入抛物线方程可得y₀．
（II）把直线的 方程与抛物线方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用三角形的面积公式即可得出．

解答：解：（I）由抛物线C：y²=2px（p＞0），可得焦点(

p

2

，0)，
∵抛物线上的点Q（2，y₀）到焦点F的距离为

5

2

．
∴2+

p

2

=

5

2

，p=1．
∴y²=2x，
把Q（2，y₀）代入抛物线方程，解得y₀=±2．
（II）联立

y=kx+b y2=2x

，得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，
x1+x2=

2(1-kb)

k2

，x1x2=

b2

k2

．
|y1-y2|2=k2|x1-x2|2=k2[(x1+x2)2-4x1x2]=

4(1-2kb)

k2

=4，
∴1-2kb=k²，
M(

1-kb

k2

，

1

k

)，D(

1

2k2

，

1

k

)，
∴△ABC的面积S=

1

2

|MD|•|y1-y2|=

1

2

×|

1-2kb

2k2

|×2=

1

2

．

点评：本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式、直线与抛物线相交问题转化为△＞0及根与系数的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．