Question

若不等式组

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

表示的区域面积为S，则
（1）当S=2时，k=

1

4

；
（2）当k＞1时，

kS

k-1

的最小值为

32

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得直线l：y=-kx+4k与x、y的正半轴分别交于点A（4，0），B（0，4k），进而得到不等式表示的平面区域是图中△AOB，结合题意建立关于k的方程并解之，即可得到实数k的值；
（2）结合（1）的计算，可得

kS

k-1

=

8k2

k-1

，其中k＞1．然后利用配凑的方法，结合基本不等式求最值，得当且仅当k=2时，

kS

k-1

的最小值为32．

解答：解：（1）∵直线l：y=-kx+4k=-k（x-4）
∴直线l经过点A（4，0），令x=0，得y=4k，直线l交y轴于点B（0，4k）
因此，不等式组

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

表示的区域是图中△AOB，
其面积为S=

1

2

×|OA|×|OB|=8k=2，解之得k=

1

4

；
  （2）由（1），得S=8k，可得

kS

k-1

=

k(8k)

k-1

=

8k2

k-1

，其中k＞1

8k2

k-1

=8（k-1）+

8

k-1

+16，
∵8（k-1）+

8

k-1

≥2

8(k-1)× 8 k-1

=16
∴当且仅当8（k-1）=

8

k-1

时，即k=2时，8（k-1）+

8

k-1

的最小值为16，
由此可得

8k2

k-1

≥16+16=32，即k＞1时，

kS

k-1

的最小值为32
故答案为：

1

4

，32

点评：本题给出二元一次不等式组表示的平面区域，求与区域面积有关的一个最小值，着重考查了简单线性规划及其应用和二元一次不等式的处理等知识，属于基础题．