Question

已知函数f(x)=x²，g(x)＝2elnx(x>0)(e为自然对数的底数）．
（1)求F(x)=f(x)－g(x)(x>0)的单调区间及最小值；
（2)是否存在一次函数y=kx+b(k，bR)，使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx＋b对一切x>0恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当时，F(x)在上单调递减；当时，F(x)在上单调递增．
；（2）存在一次函数，使得当x＞0时，，且恒成立.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性及最值等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，对求导，利用，解出单调区间，通过单调性判断出最小值所在位置，并且求出即可；第二问，通过第一问的求解可以知道与图像有且仅有一个公共点，猜想所求的直线就是在公共点处的公切线，下面只需对猜想进行证明即可，只需证明当x＞0时，，且恒成立即可，进一步转化为证明，即可，通过构造函数，利用导数求最值进行证明.
试题解析：(1) (x＞0)，
令F′(x)＝0，得(舍)，
∴当时，F′(x)＜0，F(x)在上单调递减；
当时，F′(x)＞0，F(x)在上单调递增．
∴当时，F(x)有极小值，也是最小值，
即.
∴F(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，最小值为0.（7分）
(2)由(1)知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点，
∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点处的公切线，
其方程为.
下面证明：当x＞0时，，且恒成立．
∵，∴对x＞0恒成立．
又令，∴，
∴当时，，G(x)在上单调递减；
当时，G′(x)＞0，G(x)在上单调递增．
∴当时，G(x)有极小值，也是最小值，
即，∴G(x)≥0，即恒成立．
故存在一次函数，使得当x＞0时，，且恒成立.（14分）