Question

已知a∈R，函数f(x)＝4x³－2ax＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0.

Answer 1

(1) 函数f(x)的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
(2)见解析

(1)由题意得f′(x)＝12x²－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0时，f′(x)＝12，
此时函数f(x)的单调递增区间为和，
单调递减区间为.
(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x³－2ax＋2≥4x³－4x＋2.
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x³＋2a(1－x)－2≥4x³＋4(1－x)－2＝4x³－4x＋2.
设g(x)＝2x³－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x²－2＝6.
于是

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	减	极小值	增	1

所以g(x)_min＝g＝1－＞0.
所以当0≤x≤1时，2x³－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x³－4x＋2＞0.