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如图A1(x1,y1)(y1<0)是抛物线y2=mx(m>0)上的点,作点A1关于x轴的对称点B1,过B1作与抛物线在A1处的切线平行的直线B1A2交抛物线于点A2
(1)若A1(4,-4),求点A2的坐标;
(2)若△A1A2B1的面积为16,且在A1,B1两点处的切线互相垂直.
①求抛物线方程;
②作A2关于x轴的对称点B2,过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3,交抛物线于点A3,…,如此继续下去,得一系列点A4,A5,…,设An(xn,yn),求满足xn≥10000x1的最小自然数n.

【答案】分析:(1)由A1(4,-4)在抛物线上代入可求m,设出A2(x2,-2x2),对函数y=-求导根据导数的几何意义可求x2,即可求解A2
(2)①设A1,B1处切线的斜率分别为K1,K2,容易得出K1•K2=-1,代入点的坐标即可得到m与x1 的方程,再设A2,结合已知又可得x2,x1的关系,代入三角形的面积公式中即可可求知x1,m,从而可求抛物线方程
②由题意可求xn与xn-1的递推关系,结合等比数列的通项公式可求n的最小值
解答:解:(1)若A1(4,-4)在抛物线上
∴16=4m
∴m=4,
设A2(x2,-2x2),y=-,y′=-,B(4,4)
=
∴x2=36
∴A2(36,-12)….….…(3分)
(2)①设A1,B1处切线的斜率分别为K1,K2,K1•K2=-1
∴(-).=-1
∴m=4x1 ①
设A2(x2,-
=-
∴x2=9x1 ②
又S=×2(x2-x1)=16 ③由①②③知x1=1,m=4
∴抛物线方程为y2=4x…..…(6分)
②由(2)知=-
∴xn=9xn-1
∴数列{xn}为等比数列,
∴x19n-1≥10000x1
∴n≥6∴n最小值为6…(10分)
点评:本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力
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如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点).
(Ⅰ)求出a1,a2,a3,并猜想an关于n的表达式(不需证明);
(Ⅱ)设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+
1
6
bn
恒成立,求实数t的取值范围.
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(2)若△A1A2B1的面积为16,且在A1,B1两点处的切线互相垂直.
①求抛物线方程;
②作A2关于x轴的对称点B2,过B2作与抛物线在A2处的切线平行的直线B2A3,交抛物线于点A3,…,如此继续下去,得一系列点A4,A5,…,设An(xn,yn),求满足xn≥10000x1的最小自然数n.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在单位圆和x轴上各有动点A、B,它们的初始位置都在单位圆和x轴的交点P0处,A处沿逆时针方向旋转θ=
π
4
得到A1,B点沿x轴正方向移动θ=
π
4
个单位得到B1,分别过A1、B1作x轴的平行线和垂线相交于P1(x1,y1),A1点再沿逆时针方向旋转θ=
π
4
得到A2,B1点沿x轴正方向移动θ=
π
4
个单位得到B2,分别过A2、B2作x轴的平行线和垂线相较于P2(x2,y2),…,如此下去得到Pn(xn,yn)(n为正整数)

(1)求点P1的坐标;
(2)计算:y1+y2+…+y2011的值;
(3)由点P0,P1,…Pn连成的折线与x轴、PnBn所围成的区域面积记为Sn,求S8

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科目:高中数学 来源:安徽省模拟题 题型:解答题

如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn,n∈N*)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点),
(1)求a1,a2,a3
(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式;
(3)设,若对任意正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-mt+>bn恒成立,求实数t的取值范围。

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