Question

【题目】如图，已知面垂直于圆柱底面， 为底面直径， 是底面圆周上异于的一点， ． 求证：

（1）；

（2）求几何体的最大体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，先证明BC⊥平面AA1C，再证得平面AA1C⊥平面BA1C；（2）由于是固定的，且,所以当C点到AB的距离最大时，几何体的体积有最大值。

试题解析：（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，

所以AC⊥BC．

因为AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，所以AA1⊥BC，

而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．

又BC平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．

（2）解：在Rt△ABC中，当AB边上的高最大时，三角形ABC面积最大，

此时AC=BC.

此时几何体取得最大体积.

则由AB2=AC2+BC2且AC=BC， 得，

所以体积为 ．