Question

已知函数.
（1）求证：；
（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）的最大值为，的最小值为1.

试题分析：（1）求，由，判断出，得出函数在上单调递减，从而；（2）由于，“”等价于“”，“”等价于“”，令，则，对分；；进行讨论，
用导数法判断函数的单调性，从而确定当对恒成立时的最大值与的最小值.
（1）由得，
因为在区间上，所以，在区间上单调递减，
从而.
（2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”，
令，则，
当时，对任意恒成立，
当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立.
当时 ，存在唯一的使得，
、在区间上的情况如下表：
 
因为在区间上是增函数，所以，进一步“对任意恒成立”
，当且仅当，即.
综上所述，当且仅当时，对任意恒成立.当且仅当时，对任意恒成立.
所以，若对恒成立，则的最大值为与的最小值1.