Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有＞0．给出下列命题：
①f（2）=0且T=4是函数f（x）的一个周期；
②直线x=4是函数y=f（x）的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-6，-4]上是增函数；
④函数y=f（x）在[-6，6]上有四个零点．
其中正确命题的序号为（ ）
A．②③④
B．①②③
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：根据题意，依次分析所给的命题：对于①，用特殊值法，将x=-2代入f（x+4）=f（x）+f（2）中，中，变形可得f（-2）=0，结合函数的奇偶性可得f（2）=f（-2）=0，进而将f（2）=0代入f（x+4）=f（x）+f（2）中，可得f（x+4）=f（x），符合函数周期性的定义，综合可得①正确；对于②，结合①的结论可得f（x）是以4为周期的函数，结合函数的奇偶性，分析可得直线x=4也是函数y=f（x）的一条对称轴，可得②正确；对于③，由题意可得f（x）在[0，2]上为单调增函数，结合函数是偶函数，可得f（x）在[-2，0]上为减函数，又由f（x）的周期性，分析函数y=f（x）在区间[-6，-4]的单调性可得③错误；对于④，由①可得，f（2）=f（-2）=0，又由f（x）是以4为周期的函数，则f（-6）=f（6）=0，即函数y=f（x）在区间[-6，6]上有四个零点，④正确；综合可得答案．
解答：解：根据题意，依次分析命题，
对于①，在f（x+4）=f（x）+f（2）中，令x=-2可得，f（2）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（2）=f（-2）=0，
而f（x+4）=f（x）+f（2），则有f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4为周期的函数，
则①正确；
对于②，由①可得f（x）是以4为周期的函数，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，即f（x）的一条对称轴为y轴，即x=0，
则直线x=4也是函数y=f（x）的一条对称轴，②正确；
对于③，由当x₁，x₂∈[0，2]，都有＞0，可得f（x）在[0，2]上为单调增函数，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，则f（x）在[-2，0]上为减函数，
又由f（x）是以4为周期的函数，则函数y=f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，③错误；
对于④，由①可得，f（2）=f（-2）=0，
又由f（x）是以4为周期的函数，则f（-6）=f（-2）=0，f（4）=f（2）=0，
即函数y=f（x）在区间[-6，6]上有四个零点，④正确；
正确的命题为①②④；
故选D．
点评：本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性，单调性的判断与应用；关键是根据题意，运用特殊值法，分析得到f（x）的周期性、单调性以及f（2）的值．