Question

已知函数y=ax³+bx²，当x=1时，有极大值3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y的极小值．

Answer 1

分析：（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；
（2）令y′=0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．

解答：解：（1）y′=3ax²+2bx，当x=1时，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即

3a+2b=0 a+b=3

，a=-6，b=9
（2）y=-6x³+9x²，y′=-18x²+18x，令y′=0，得x=0，或x=1
当x＞1或x＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增．
∴y_极小值=y|_x=0=0．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会用待定系数法球函数解析式的能力．