Question

（08年湖北卷理）（本小题满分13分）

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，

∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.

若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.

Answer 1

（1）解法1：以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，

由题意得。

所以曲线是以原点为中心，、为焦点的双曲线。

设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，

则

所以曲线的方程为。

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则由题意可得

所以曲线是以原点为中心，、为焦点的双曲线。

设双曲线的方程为

则由解得，

所以曲线的方程为。

 

（2）解法1：由题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理得

……①

因为与双曲线相交不同的两点E、F，

……②

设则由①式得，于是

.

而原点到直线的距离,

若面积不小于，即，则有,

解得……③

综合②、③知，直线的斜率的取值范围为.

解法2：由题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理得

因为与双曲线相交不同的两点E、F，

……②

设则由①式得……③

当E、F在同一支上时，

当E、F在不同一支上时，

综上得，于是由及③式，得。

若面积不小于，即，则有,

解得……④

综合②、④知，直线的斜率的取值范围为.

【试题解析】本题条件涉及到一动点到两定点距离差的绝对值，容易想到双曲线的定义，所以第（1）问只要求求了出双曲线方程中的与。第（2）涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，一般是要设出直线联立曲线，再用韦达定理，本问要解法的是求范围的问题，其不等式在第（2）问中已给出，所以只需写出三角形面积的表达式。

【高考考点】本题考查直线、圆和双曲线等平面几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力和运算能力。

【易错提醒】直线与双曲线有两个交点时，在联立后的一元二次方程的二次项系数不能为零，再就是解不等式后，结果是取交集还是并集，那些地方要带等号那些地方不带等号，这些都考生容量出错的地方。

【备考提示】要牢记圆锥曲线的定义，并会灵活运用；不等式的解法要熟练掌握。