Question

设△ABC的三边分别是a、b、c，且a+b+c=3，求证：3≤a²+b²+c²＜

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Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用余弦定理和乘法公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc即可证明右边；利用3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，即可证明左边．

解答： 解：先证明右边：∵a²+b²-2abcosC=c²，a²+c²-2accosB=b²，b²+c²-2bccosA=a²，
∴a²+b²+c²=2abcosC+2accosB+2bccosA＜2ab+2ac+2bc，
∴2（a²+b²+c²）＜（a+b+c）²=3²=9，
∴a2+b2+c2＜

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，即右边成立．
再证明左边：∵（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2ac+2bc，
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=3²，
∴a²+b²+c²≥3，当且仅当a=b=c时取等号，即左边成立．
综上可知：3≤a²+b²+c²＜

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点评：本题考查了余弦定理、乘法公式和“放缩法”的应用，考查了推理能力和计算能力，属于难题．