Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（I）根据中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明PA∥平面BDE；
（II）利用三棱锥的换底性，代入数据计算可得答案．

解答： 解：（I）证明：连接AC交BD于O，连接OE，
∵ABCD是正方形，∴O为AC的中点，
又E是PC的中点，∴OE∥PA，
PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA∥平面BDE；
（II）∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD为三棱锥P-ABD的高，PD=DC=2，
∴V_A-BDP=V_P-ABD=

1

3

×S_△ABD×PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

点评：本题考查了线面平行的证明及三棱锥的体积计算，利用线线平行证明线面平行是证明线面平行的基本方法．