Question

已知函数f（x）=（sinx-cosx）

sin2x

sinx

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用分式的分母不为0，求出函数的定义域即可．
（2）．由此求得函数f（x）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，由此根据正弦函数的定义域和值域求得最大值．

解答： 解：（1）由函数的解析式可得 sinx≠0，所以x≠kπ，k∈Z．
所以函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
（2）函数f（x）=（sinx-cosx）

sin2x

sinx

=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1
因为{x|x≠kπ，k∈Z}，∴2x-

π

4

≠2kπ-

π

4

，k∈Z．
故当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，
即x=kπ+

3π

8

时，函数f（x）取得最大值为：

2

-1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．