Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2+2x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于函数的解析式中含有参数a，故我们要对a进行分类讨论，注意到a出现在二次项系数的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三种情况，最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案．
（2）方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)整理为ax²+（1-2a）x-lnx=0构造函数H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原方程在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根即为函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点，根据函数零点存在定理，结合函数的单调性，构造不等式组，解不等式组即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a

，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
所以-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．
当a＜0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是a≥0．
（Ⅱ）把方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)整理为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，
即为方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），
原方程在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根，
即为函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点
H′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，
只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即

a e2 + 1-2a e +1= (1-2a)e+a+e2 e2 ＞0 H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

∴

a＜ e2+e 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

解得1＜a＜

e2+e

2e-1

，
所以a的取值范围是（1， 

e2+e

2e-1

）．

点评：遇到类二次方程/函数/不等式（即解析式的二次项系数含有参数）时，一般要进行分类讨论，分类的情况一般有：①先讨论二次项系数a是否为0，以确定次数②再讨论二次项系数a是否大于0，以确定对应函数的开口方向，③再讨论△与0的关系，以确定对应方程根的个数．