Question

已知函数f（x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1，且给定条件P：“

π

6

≤x≤

π

4

”．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小值；
（Ⅱ）若又给条件q：“|f（x）-m|＞2”，且p是?q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=4sin（2x-

π

3

）+1，再由

π

6

≤x≤

π

4

⇒0≤2x-

π

3

≤

π

6

，利用正弦函数的性质可求f（x）的最大值及最小值；
（Ⅱ）依题意，利用p是?q的充分不必要条件可得不等式组

m-2≤1 m+2≥3

，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1
=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-1
=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4sin（2x-

π

3

）+1，
∵

π

6

≤x≤

π

4

，
∴0≤2x-

π

3

≤

π

6

，
∴0≤sin（2x-

π

3

）≤

1

2

，1≤4sin（2x-

π

3

）+1≤3，
∴[f（x）]_min=1，[f（x）]_max=3．
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＞2，
∴f（x）＜m-2或f（x）＞m+2，
故￢q：m-2≤f（x）≤m+2，
又p是?q的充分不必要条件，
∴p⇒￢q，￢q不能⇒p，
即

m-2≤1 m+2≥3

，解得1≤m≤3．
∴实数m的取值范围是[1，3]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式的应用，突出必要条件、充分条件的判断与应用，属于中档题．