Question

已知函数f(x)=|1-|.

(1)是否存在a＜b且a、b∈［1,+∞),使得当函数f(x)的定义域为［a,b］时,值域为［,］?若存在,求出a、b的值;若不存在,请说明理由.

(2)若存在实数a、b(a＜b),使得函数f(x)的定义域为［a,b］,值域为［ma,mb］ (m≠0),求实数m的取值范围.

Answer 1

思路解析：假设存在,则根据定义域可以化简函数解析式,并可以判断出函数的单调性,根据定义域和值域的对应关系求解(1);根据题设条件初步判断字母的范围,然后分类讨论.

解：(1)若存在,则由于当a、b∈［1,+∞)时,f(x)=1-在［1,+∞)上单调递增,则f(a)=a,f(b)=b,可知a、b是方程x²-8x+8=0的实根,求得a=4-2,b=4+2满足条件.

(2)若存在,则易知m＞0,a＞0,

    当a、b∈(0,1)时,由于f(x)=-1在(0,1)上单调递减,则可得f(a)=mb, f(b)=ma,则-1=mb,-1=ma,相减得=m(b-a),由于a≠b,则m=,所以-1=mb=-1=0,这是不可能的,故此时不存在实数a、b满足条件.

    当a∈(0,1),b∈［1,+∞）时,显然1∈［a,b］,而f(1)=0则0∈［ma,mb］,矛盾.故此时也不存在实数a、b满足条件;

    当a,b∈［1,+∞）时,由于f(x)=1-在［1,+∞）上单调递增,则f(a)=ma,f(b)=mb,则a、b是方程mx²-x+1=0的两个大于1的实根,则由Δ＞0,＞1可得m的取值范围是(0, ).