Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别在棱AB、CC₁、D₁A上，且正方体的棱长为a，AE=CF=D₁G=b.

(1)求证：DB₁⊥平面EFG；

（2）求B₁与平面EFG的距离.

Answer 1

（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（a,a,a），E（a,b,0）,F(0,a,b),G(b,0,a).?

∴=(a,a,a),=(-a,a-b,b),=(b,-a,a-b),?

∴·=a（-a）+a(a-b)+ab=0.?

·=ab+a(-a)+a(a-b)=0.?

∴DB₁⊥EF,DB₁⊥FG.而EF∩FG=F.?

∴DB₁⊥平面EFG.

(2)解:设△EFG的重心为H,则?

H(,,).?

而=,∴点H在DB₁上,即HB₁⊥平面EFG.?

=-=(,,).?

∴||=(2a-b).?

因此,点B₁与平面EFG的距离为 (2a-b).