Question

4．等比数列{a_n}同时满足下列条件：①a₁+a₆=33，②a₃a₄=32，③三个数4a₂，2a₃，a₄依次成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等比数列{a_n}的公比为q，利用4a₃=4a₂+a₄计算可知q=2，通过a₁+a₆=33可知a₁=1，从而可知数列{a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵三个数4a₂，2a₃，a₄依次成等差数列，
∴4a₃=4a₂+a₄，即4a₁q²=4a₁q+a₁q³，
整理得：0=4+q²-4q，
解得：q=2，
又∵a₁+a₆=33，即a₁+2⁵a₁=33，
解得：a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$1•\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{2}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2（2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$）=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．