Question

15．已知{a_n}，{b_n}是满足（1+$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+b_n$\sqrt{2}$的两个无穷数列，推测a_n ，b_n表示（1-$\sqrt{2}$）ⁿ的表达式，并加以证明．

Answer 1

分析 利用二项式定理与数学归纳法即可证明．

解答 解：∵（1+$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+b_n$\sqrt{2}$，
∴当n=1时，a₁=1，b₁=1．∴$1-\sqrt{2}$=a₁-b₁$\sqrt{2}$．
当n=2时，$（1+\sqrt{2}）^{2}$=3+2$\sqrt{2}$，可得a₂=3，b₂=2；∴$（1-\sqrt{2}）^{2}$=3-2$\sqrt{2}$=a₂-b₂$\sqrt{2}$．
推测a_n ，b_n表示（1-$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n-b_n$\sqrt{2}$．
下面给出证明：由（1+$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+b_n$\sqrt{2}$，可得$（1+\sqrt{2}）^{n+1}$=$（{a}_{n}+{b}_{n}\sqrt{2}）$$（1+\sqrt{2}）$=（a_n+2b_n）+（a_n+b_n）$\sqrt{2}$，
∴a_n+1=（a_n+2b_n），b_n+1=（a_n+b_n）．
（1）当n=1时，$1-\sqrt{2}$=a₁-b₁$\sqrt{2}$成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，$（1-\sqrt{2}）^{k}$=a_k-b_k$\sqrt{2}$．
则当n=k+1时，$（1-\sqrt{2}）^{k+1}$=（a_k-b_k$\sqrt{2}$）$（1-\sqrt{2}）$=（a_k+2b_k）-（a_k+b_k）$\sqrt{2}$=a_k+1-b_k+1$\sqrt{2}$．
因此当n=k+1时，命题成立．
综上可得：?n∈N^*，（1-$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n-b_n$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二项式定理与数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．